سال نو مبارک !!!!

سلام !! عیدِ همه مبارک
گفتم یه پست بزنم تو سال جدید (خیلى وقت بود پستى نزده بودم)
اول از همه به طلا هاى امسال تبریک میگم که عبارتند از:
1-على بابایى چشمه احمد رضایى(حلی-تهران)
2-افروز(پسر) جبل عاملى(طباطبایی-تهران)
3-علیرضا ذاکرى(اژه ای-اصفهان)
4-مهرداد طهماسبی(حلی-تهران)
5-امیر بهشاد شهراسبی- بهروز ربیعی - جواد عابدى(حلی-تهران)
8-حسام باقرنژاد(سلطانى-کرج)
تیم هم که شد : من و سهیل احسانی و فرهاد شاه محمدی و فرشته خانى و پویا وحیدی و على بابایى ...

در مورد مرحله دوم !!
امسال هر چیزى از کمیته بر میاد پس شما باید واسه هر سوالى آماده باشید سخت ،آسون،خر کارى،و ریاضوی ...
فکر کنم این کار و کنید بد نباشه(برا اونایى که سعى میکنن راه حل نخونن)
نگاه کنید این یه ماه که مونده تا مرحله ۲ رو سعى نکنید که خیلى سر مسأله ها فکر کنید یعنى نیم ساعت دیگه بیشتر نباشه (مگه اینکه مسأله مرحله ۲ باشه)
چون تو این یه ماه فرصت یاد گرفتن ایده هستش نه ایده زدن یعنى راه حل بخونید و سعى کنید که راه حل ها رو بفهمید تا اگه سوالى مشابه اومد بتوانید حل کنید

من خودم این کار و هم براى مرحله ۲ کردم هم براى طلا هم براى تیم
مثلا نمونش همین ۲ هفته پیش واسه انتخاب تیم میرفتم BOI(المپیاد بالتیک) حل می کردم و اگه حل نمى شد راه حل میخوندم و جواب هم گرفتم

___________________________________________________________

سوال ها

1-یک گراف جهت دار با n راس و 4n یال داریم
ثابت کنید دورى وجود دارد که یال هایش یکى در میان جهتدار هستن
یعنى فرض کنید اگر داریم روى دور حرکت میکنیم اگر الان در جهتِ یال حرکت کردیم یال بعد در خلاف جهت حرکت کنیم و در مرحله ى بعد دوباره در جهتِ یال حرکت کنیم و ...

2-یک ماتریس . ماتریس جایگشت است که در هر سطر و هر ستونش دقیقا یک ۱ وجود داشته باشد
ثابت کنید میتوان یک ماتریس را به صورتِ جمعِ k تا ماتریس جایگشت نوشت اگر و فقط اگر جمعِ هر سطر و ستون آن ماتریس k باشد !!!

3-یه قطعه شکلات داریم که به صورتِ جدول n*m است
خانهِ پائین سمتِ چپ (۰،۰) است و بالا راست (n,m)
خانهِ (n,m) سمى است !!!
بازى به این صورت است که در هر مرحله یکى از ۲ بازیکن یک نقطه (x,y)(دقت کنید نقطه) را انتخاب میکند و قسمت پائین سمتِ چپِ Iن را میخورد !!!
در هر مرحله نقطه (x,y) باید وجود داشته باشد و در هر مرحله باید حداقل 1 خانه خورده شود !!!
هر کس خانهِ (n,m) را بخورد میمیرد پس هدف نخوردن خانهِ سمى است !!
برنده ى این بازی را در حالت هاى مختلف n و m بگوئید

4- آیا خانه هاى یک جدول ۲۰۰۲*۲۰۰۲ میتوانند به صورتى با اعداد هاى ۱ تا ۲۰۰۲*۲۰۰۲ (هر کدام یک بر در جدول ظاهر شود ) پر شود که شرط زیر را داشته باشد !!
براى هر خانه اى که در نظر میگیریم در سطر و ستونِ ان ۳ عددِ متمایز مانندِ a,b,c وجود داشته باشد که a=bc !!!