سوال شب چهاردهم

سوال امشبم بخاطر درخواست های زیاد(!) گذاشتیم

سوال شب سیزدهم

سلام به المپیادی های عزیزمون. خوبین؟ خوشین؟‌سلامتین؟ خدا رو شکر.

 

بدون مقدمه بریم سراغ سوال امشب:

سوال شب سیزدهم

 سلامی دوباره

فرض کنید دور یک میز گرد ‎50‎ دختر و ‎50‎ پسر نشسته اند . ثابت کنید یک دختر و پسر وجود دارند که بین انها دقیقا یک دختر و یک پسر نشسته باشد 

ارشیا سلطانی

شب خوش :)

سوال شب دوازدهم

سلاااااااااااام:))

خوبین؟

خب مثل قبل. جواب سوال قبلی رو تو دیسکورد میگیم!

و حالا سوال امشب!

درخت T با n راس داریم. به جایگشت p میگیم خوب اگه به ازای هر یال درخت که بین u,v هستش، بین P_v,P_u هم یک یال باشه.

ثابت کنید توی هر جایگشت خوب یا x ای وجود داره که P_x=x و یا x,y وجود دارن که P_y=x,P_x=y.

نویسنده: میکائیل

سوال شب یازدهم

سلام بچه ها. فکر می کردید ما خسته شدیم و دیگه قرار نیست سوال شب بذاریم؟!!!!!

آقا تیزی یه جمله داره میگه:‌ هه! آقا رو باش :)

 

ضمن یاداوری این نکته که جواب سوالات شب های قبل توی دیسکورد موجود هستش میریم سراغ سوال امشب:

سوال شب دهم

سلام دوستان. ببخشید که سوالمون را با کمی تاخیر ارائه میدیم.

برای دسترسی به راه حل های سوالات شب های قبل ما را در پیام رسان دیسکورد دنبال کنید.

و حالا سوال امشب‌ یا بهتره بگم امروز:

سوال شب نهم

سلام بچه ها. بازم ما اومدیم با یه سوال جدید :)

راستی قبل از سوال امشب خوبه که یاداوری کنم توی پیام رسان دیسکورد به ما بپیوندید. راه حل سوالات شب های قبل توی کانال شاز در پیام رسان موجود هستش. اگر هم راه حلی برای سوالات داشته باشید می تونید اونا رو توی کانال بیان کنید و  ما حتما بررسیشون می کنیم. پس حتما ما را توی پیام رسان دنبال کنید.

حالا میریم سراغ سوال امشب:

سوال شب(عصر) هشتم

بحث درباره سوال قبل رو میتونید اینجا توی سرور دیسکورد ما ببینید. اگر اکانت ندارید لطفن بسازید چون میخوایم کم کم سوالا رو منتقل کنیم به اونجا تا بحث دربارشون راحت تر باشه.

 

گراف ساده G رو درنظر بگیرید. به یک زیر مجموعه از رئوس مث S میگیم خوب اگر و تنها اگر هر راسی که عضو S نیست حداقل یک همسایه توی S داشته باشه.

ثابت کنید زوجیت تعداد مجموعه های خوب فرد است.

 

سوال شب هفتم

سلام سلام صد تا سلام.
باور کردنش سخته ولی یه هفته گذشته و ما هنوز داریم ادامه میدیم :)

 

خب اول می پردازیم به راه حل سوال دیشب. کسانی که می خوان سوال براشون نسوزه این قسمت را نخونن.

واضحه که تعداد تطابق های x تایی توی گراف G که برابر هستش با c(n, x) ^ 2 (انتخاب x از n به توان دو) ضرب در x فاکتوریل. حالا می خواهیم ثابت کنیم تعداد تطابق های x تایی گراف F هم همین قدره. فرض می کنیم جواب مسئله مون هستش (f(n, x. حالا می خواهیم یه رابطه بازگشتی برای f پیدا کنیم. با کمی تلاش به رابطه بازگشتی زیر می رسیم:

(f(n, x) = f(n - 1, x) + f(n - 1, x - 1) * (2n - x

برای اثبات رابطه بازگشتی بالا میاییم راس n ام را در نظر می گیریم. یا با هیچ کس تطابق داده نمیشه که در این صورت میشه (f(n - 1, x. یا به یه راس دیگه تطابق داده میشه. در این صورت میاییم اول به (f(n - 1, x - 1 طریق یه تطابق x - 1 تایی توی n - 1 نفر اول پیدا می کنیم. حالا چون n به همه 2n - 1 راس قسمت دیگه وصله و از بین اونا دقیقا x - 1 تاشون با راس دیگه تطابق داده شدن, راس n ام 2n - x انتخاب برای تطبیق داره. پس رابطه بازگشتی بالا ثابت میشه. حالا با استفاده از استقرا بر روی n و مقدار کمی جبر می توانید ثابت کنید که (f(n, x برابر است با c(n, x) ^ 2 (انتخاب x از n به توان دو) ضرب در x فاکتوریل. بنابر این مسئله ثابت می شود. 3:

 

حالا سوال امشب:

در مدرسه ای n دانش آموز وجود دارند. هر دانش آموز در تعدادی گروه عضو است. اگر دو گروه دو دانش آموز مشترک داشته باشند آنگاه تعداد اعضایشان متفاوت است. ثابت کنید تعداد گروه ها از (n-1)*(n-1) کمتر است. ( گروه یک نفره نداریم )

 

راستی بچه ها یه خبر دیگه ای هم براتون دارم. ما واسه راحت تر کردن ارتباط خودتون با خودمون و خودتون با خودتون تصمیم گرفتیم از یه اپ پیام رسانی به اسم discord استفاده کنیم. هم اینکه فیلتر نیست هم اینکه طبقه بندی خوبی داره و هم اینکه جذابه :))

از این به بعد سوالای شب و یه سری چیزای دیگه رو اونجا میذاریم. خلاصه که جمع بشید اینجا پرچم شازو ببریم بالا :*

بعد که اپو نصب کردین با این لینکه بیاید تو.

بای بای :)

 

حمیدرضا کلباسی

شب 6

سلام شاز.

اول راه سوال شب 5 رو میگم. اگه نمیخواین اسپویل شه این قسمتو اسکیپ کنین.

فرض کنین میز 2n+1 نفری باشه. با استقرا ثابت میکنیم به ازای هر k بین 1 تا n+1، بعد از گذشت یه تعداد حرکت، یا 2k تا کارت با شماره 1 تا k هیچ کدوم دوتاشون دست یه نفر نیست (دقیقن 2k تا جا اشغال کردن) یا اینکه حکم سوال (دوتا کارت با شماره برابر دست یه نفر باشن) نتیحه شده. به ازای k=1 حکم درسته، چون یا دوتا کارت 1 دست یه نفرن، یا اینکه دست دو نفرن :3

حالا برای k ثابت میکنیم. طبق فرض استقرا روی k-1، بعد از یه تعداد حرکت یا حکم نتیجه شده که حله یا اینکه تمام کارت های 1 تا k-1 دست آدمای مختلفه. این کارتای 1 تا k-1 هر مرحله دقیقن یکی شیفت سمت راست میخورن؛ چون از بقیه کارتا اکیدن کوچیکترن و به هم دیگه هم برخورد نمیکنن چون فاصله هاشون حفظ میشه. حالا یه کارت k رو در نظر بگیرید. آدمی که این کارته رو داره اول یه تعداد کارت 1 تا k-1 میان پیشش و میرن و بالاخره یا کارت k دیگه میاد پیشش که حله، یا اینکه یه کارت بزرگتر از k میاد پیشش. در اینصورت آدمه کارت k اشو میده بغلی و این کارت k عه هر دفعه به بغلی داده میشه؛ چون آدم کناری طبق فرض استقرا نهایتن یه دونه کارت کمتر از k داره که توی اون حرکت پاسش میده به بغلی خودش و اون یکی کارتش حتمن یا k عه که حله یا بزرگتر از k عه و بازم این پاس دادن ادامه پیدا میکنه. به این ترتیب اون همه 2k تا کارت 1 تا 2k هم دقیقن 2k تا آدم اشغال میکنن و گام استقرا ثابت میشه.

حالا طبق چیزی که اثبات کردیم به ازای k=n+1، چون نمیشه همه 2n+2 تا کارت دست آدمای مختلف باشه، پس حالت دیگه درسته که یعنی حکم مسئله ثابت شده :#

 

حالا سوال امشب :

G یه گراف دوبخشی کامله که هر بخشش n تا راس دارن. F یه گراف دو بخشیه که بخش بالا n تا راس داره بخش پایین 2n-1 راس که راس i ام از بخش بالا به راس های 1 تا 2i-1 از پایین وصله. ثابت کنید به ازای هر x از 1 تا n، تعداد تطابق های x یالی تو G و F برابره.

 

نویسنده : امید آزادی (سوال امشب از کلباسه)