سوال شب ۵

سلام بر همه گی

 

اول راه سوال دیشب

برهانه خلف بگیرید که تعداده اندیس هایی مثل k که a_k>k متناهی باشد حال بزرگ ترین اندیسی رو که خاصیت قبل رو داره رو k بنامید بعد فرض کنید بزرگ ترین عدد بین k عضو اول دنباله y باشد حال اگر y عضو اول دنباله رو در نظر بگیرید همهی انها از y کمترمساوی هستند چون k عوض اول که تبق تعریفه y از y کمتر مساوی هستن باقی هم چون از اندیسشان کوچکترند از y کمترند

و همچنین همهی انها از ۱ بزرگترند یعنی بین ۲ و  y هستند (y-1 حالت) و چون y تا هستند پس طبق اصل لانه کبوتری ۲ تا از انها با هم برابرند و این با فرض متمایز بودن انها تناقض دارد پس برهان خلف رد میشود و مسعله ثابت میشود🥳

و اما سوال شب ۵

دور میز گردی ‎25‎ نفر نشسته اند.هر کدام از آنها دو کارت در دست دارند. روی هر کارت یکی از عدد های ‎1‎ تا ‎25‎ نوشته شده است(هر عدد روی ۲ کارت نوشته شده) . در هر لحظه با علامت داور هر نفر از دو کارت خود ، کارتی را که عدد آن کوچکتر است را به نفر سمت راست خود میدهد .ثابت کنید لحظه ای وجود دارد که یک نفر دو کارت هم شماره داشته باشد​.

 

 

نویسنده : ارشیا سلطانی

شب 4

سلام ملت.

میریم واسه سوال شب 4.

اول راه سوال شب 3 رو میگم. کسایی که میخوان اسپویل نشه این قسمتو اسکیپ کنن :8

اول ثابت میکنیم اعداد هر سطری از جدول رو اگه روی محور اعداد ضربدر بزنیم به جاشون، یه بازه تشکیل میشه (در واقع یعنی همه اعداد بین مینیمم سطر و ماکسیمم سطر هم توی سطر اومده)

اثبات این قسمتش اینجوریه که شما مینیمم رو بگیر بذار x، ماکسیمم رو بگیر بذار y، بعد حالا یه x و یه y رو بگیر، بین این دوتا همه اعداد بازه [x , y] اومدن؛ چرا، چون ما از عدد x با یه دونه یه دونه حرکت کردن رسیدیم به y، پس اولین عددی که نیومده این بینو اگه بگیریم مثل z، میبینیم که یهو از z-1 پریدیم به یه عدد غیر از z که تناقضه. پس این ثابت شد. حالا بازه سطر i رو [Li , Ri] بذارید. حالا دوتا حالت داره :

1. اشتراک [Li , Ri] ها ناتهی باشه. در این صورت اگه اشتراکشون عدد x رو داشته باشه، عدد x تو همه سطرا اومده و ما بردیم.

2. اشتراکشون تهی باشه. یعنی دوتا سطر هستن که بازه هاشون مجزا عه. فرض کنید بازه هاشون [L , R] و [X , Y] باشه که X>R. حالا از سطر [L , R] شروع به حرکت میکنیم تا به سطر [X , Y] برسیم. تو هر مرحله هر عدد از سطر [L , R] مثبت منفی 1 میشن و در آخر هر عدد بین [X , Y] عه. در اینصورت، همه اعداد بازه از X رد شدن، پس یعنی در هر ستون حداقل یه X داریم. پس بازم بردیم.

پس در کل عم میبریم.

 

حالا سوال شب 4 :

یه دنباله نامتناهی از اعداد متمایز و صحیح A داریم که Ai>1. ثابت کنید نامتناهی جایگاه مانند k وجود داره که Ak>k باشه.

 

نویسنده : امید آزادی

سوال شب 3

سلام ! دونقطه دی

 

مثل دیروز اول راه شب گذشته رو می گیم ( اگر به سوال به مقدار کافی فکر نکردین، نخونین که براتون لوث نشه !=) ) :

 

اول از همه, اگر دو تا زیر مجموعه ی متمایز پیدا بشه که در شرایط سوال صدق کنه, دو زیرمجموعه ی مجزا هم پیدا میشه. کافیه اشتراکشون رو از هر دو حذف کنیم.

حالا در کل 2^M زیرمجموعه داریم. هر کدوم از زیرمجموعه ها مثل S رو متناظر با یک n+1 تایی مرتب (a₀, a₁ , ... , a_n) می کنیم, که a_i برابر sigma (S_j) ⁱ هست.

a_i حداقل 0 و حداکثر M * M ⁱ = M ^{i + 1} هست, پس حداکثر M ^{i + 1} + 1 <= M ^{n + 2} حالت دارد ( M > 1 ). در نتیجه تعداد n + 1 تایی های معتبر از M ^{n*n + 3*n + 2} بیستر نیست.

پس کافیه 2^M > M ^{n*n + 3*n + 2} تا طبق اصل لانه کبوتری 2 تا زیرمجموعه درست پیدا بشن. تابع 2^M نمایی هست ولی تابع M ^{n*n + 3*n + 2} چندجمله ای, پس پیدا می شه M که نا مساوی گفته شده برقرار بشه !

 

خب , بالاخره می رسیم به سوال امشب دونقطه دی :

 

خانه های یک جدول مربعی n _x n رو با اعداد صحیح پر کرده ایم , به طوری که اختلاف عدد هر دو خانه ی مجاور ضلعی , از 1 بیشتر نشود.

الف ) اثبات کنین عددی وحود داره که حداقل کف n/2 بار در جدول ظاهر شده.

ب ) اثبات کنین عددی وحود داره که حداقل n بار در جدول ظاهر شده.

 

نویسنده: مهرشاد =) (راه سوال دیشب هم از میکائیل )

 

شب ۲

سلاااااااام

 

خب بچه ها شب دومه و ما هنوز هم خسته نشدیم و داریم سوال میدیم.

 

اول از همه راه سوال دیروزو میگم، کسایی که فکر نکردن بهش نخونن که براشون لوث نشه!

 

میخوایم ثابت کنیم یه پمپ بنزینی هست که بشه با شروع ازش، ساعتگرد کل دایره رو طی کرد. میخوایم با استقرا روی n، تعداد پمپ بنزین ها، مسئله رو ثابت کنیم. به ازای n=1، حکم بدیهیه خدایی. به ازای n>1 ها، اول نشون میدیم پمپ بنزینی مثل X وجود داره که با شروع از اون و با باک خالی، بتونیم خودمونو به پمپ بنزین بعدی X در جهت ساعتگرد برسونیم. فرض خلف میکنیم همچین پمپ بنزینی نباشه، اونوقت مقدار بنزین هر پمپ بنزین اکیدن از مقدار فاصلش تا پمپ بنزین بعدیش در جهت ساعتگرد کمتره، اونشکلی جمع بنزین ها از محیط دایره کمتر میشه که تناقضه. پس پمپ بنزین X طبق خواسته ما وجود داره. حالا پمپ بنزین بعدی X در جهت ساعتگرد رو Y بگیرید. میگیم بیا بنزین Y رو بگیر و تو X بریز، بعدش Y رو حذف کن. شرایط مسئله هنوز برقراره و تعداد پمپ بنزینا یکی کم شده؛ پس طبق فرض استقرا، یه پمپ بنزینی هست که با شروع از اون در جهت ساعتگرد بشه دایره رو طی کرد. اگه اسم اون پمپ بنزین Z باشه، ما اینجا هم با شروع از Z کل دایره رو طی میکنیم. چرا؟ چون تا وقتی به X نرسیده که همه چی مثل شرایط n-1 پمپ بنزینمونه. وقتی هم به X رسید، چون باکش بیشتر مساوی 0 بنزین داره، با بنزینی که از X میگیره میتونه به Y برسه (طبق شرایط X) و از اونجا هم به پمپ بنزین بعدی میره. بعدش دوباره طبق شرایط n-1 پیش میره. اینشکلی گام استقرا ثابت میشه و حکم ثابت میشه.

 

راه های دیگه ای هم مثل اکسترمال داره این سوال اگه خواستید فک کنید بهش %__%

 

 

 

و حالا سوال جدید:))

 

ثابت کنین عدد طبیعی M وجود دارد به طوری که از مجموعه ی اعداد طبیعی 1 تا M

بتوان دو زیر مجموعه مجزا مثل A و B انتخاب کرد به طوری که:

Sigma ai^k=sigma bi^k

برقرار باشه به ازای هر 0=<n>=k

(یعنی تعداد اعضاشون برابر باشه, مجموع اعضاشون برابر باشه, مجموع توان دو اعضاشون برابر باشه و ... مجموع توان n اعضاشون هم برابر باشن)

 

نویسنده: میکائیل (راه حل سوال دیروز از امید)

سوال شب 1

خب خب خب :))

سلام بچه ها :8

از این به بعد قرار گذاشتیم هر شب یه سوال تحت عنوان "سوال شب" بدیم بهتون. درجه سختی سوالا اولا کمتره و به مرور زمان اگه درخواست بدید بیشتر میشه. ترجیحن زیر پست عم راه و اسپویلر ننویسید که واسه بقیه اسپویل نشه. اول سوال شب بعدی عم راه قبلیو میگیم که اگه خواستید برید ببینید از اونجا. طبیعتن اگه استقبال کنید ماعم خوشال میشیم و فعال تر میشیم 6__9

 

خب سوال اول از این قراره :

یه زمین دایره ای شکل داریم که محیطش 1 متره. روی محیط زمین n تا پمپ بنزین هستن که با اعداد 1 تا n شماره گذاریشون کردیم. توی آی امین پمپ بنزین Xi لیتر بنزین وجود داره. Xi>=0 هستن و جمع Xi ها هم 1 میشه. حالا ما یه ماشین داریم که باکش اول کار خالیه و برای L متر جابجا شدن به L لیتر بنزین نیاز داره. ثابت کنید پمپ بنزینی وجود داره که بتونیم از اونجا در یک جهت خاص شروع به حرکت کنیم و کل محیط دایره رو دور بزنیم و به سر جای اولمون برگردیم.

 

نویسنده : امید آزادی