شب ۲

سلاااااااام

 

خب بچه ها شب دومه و ما هنوز هم خسته نشدیم و داریم سوال میدیم.

 

اول از همه راه سوال دیروزو میگم، کسایی که فکر نکردن بهش نخونن که براشون لوث نشه!

 

میخوایم ثابت کنیم یه پمپ بنزینی هست که بشه با شروع ازش، ساعتگرد کل دایره رو طی کرد. میخوایم با استقرا روی n، تعداد پمپ بنزین ها، مسئله رو ثابت کنیم. به ازای n=1، حکم بدیهیه خدایی. به ازای n>1 ها، اول نشون میدیم پمپ بنزینی مثل X وجود داره که با شروع از اون و با باک خالی، بتونیم خودمونو به پمپ بنزین بعدی X در جهت ساعتگرد برسونیم. فرض خلف میکنیم همچین پمپ بنزینی نباشه، اونوقت مقدار بنزین هر پمپ بنزین اکیدن از مقدار فاصلش تا پمپ بنزین بعدیش در جهت ساعتگرد کمتره، اونشکلی جمع بنزین ها از محیط دایره کمتر میشه که تناقضه. پس پمپ بنزین X طبق خواسته ما وجود داره. حالا پمپ بنزین بعدی X در جهت ساعتگرد رو Y بگیرید. میگیم بیا بنزین Y رو بگیر و تو X بریز، بعدش Y رو حذف کن. شرایط مسئله هنوز برقراره و تعداد پمپ بنزینا یکی کم شده؛ پس طبق فرض استقرا، یه پمپ بنزینی هست که با شروع از اون در جهت ساعتگرد بشه دایره رو طی کرد. اگه اسم اون پمپ بنزین Z باشه، ما اینجا هم با شروع از Z کل دایره رو طی میکنیم. چرا؟ چون تا وقتی به X نرسیده که همه چی مثل شرایط n-1 پمپ بنزینمونه. وقتی هم به X رسید، چون باکش بیشتر مساوی 0 بنزین داره، با بنزینی که از X میگیره میتونه به Y برسه (طبق شرایط X) و از اونجا هم به پمپ بنزین بعدی میره. بعدش دوباره طبق شرایط n-1 پیش میره. اینشکلی گام استقرا ثابت میشه و حکم ثابت میشه.

 

راه های دیگه ای هم مثل اکسترمال داره این سوال اگه خواستید فک کنید بهش %__%

 

 

 

و حالا سوال جدید:))

 

ثابت کنین عدد طبیعی M وجود دارد به طوری که از مجموعه ی اعداد طبیعی 1 تا M

بتوان دو زیر مجموعه مجزا مثل A و B انتخاب کرد به طوری که:

Sigma ai^k=sigma bi^k

برقرار باشه به ازای هر 0=<n>=k

(یعنی تعداد اعضاشون برابر باشه, مجموع اعضاشون برابر باشه, مجموع توان دو اعضاشون برابر باشه و ... مجموع توان n اعضاشون هم برابر باشن)

 

نویسنده: میکائیل (راه حل سوال دیروز از امید)