چند تا سؤال

۱- ثابت کنید برای هر عدد طبیعی n، می‌توان عددی n-رقمی با رقم‌های ۱ و ۲ پیدا کرد که بر ۲ⁿبخش‌پذیر باشد.
(راهنمایی: استقرا خیلی خوبه)

۲- ثابت کنید بین هر ۳۹ عدد متوالی، می‌توان عددی را پیدا کرد که مجموع رقم‌های آن بر ۱۱ بخش‌پذیر باشد.
(راهنمایی: لانه‌ی کبوتری هم خیلی خوبه)

۳- n فوتبالیست با شماره‌های ۱ تا n، و n صندلی با شماره‌های ۱ تا n وجود دارد. با هر سوت مربی، n نفر به صورت کاملا تصادفی روی صندلی‌ها می‌نشینند و مربی تعداد افرادی که روی صندلی با شماره‌ی خودشان نشسته‌اند را یادداشت می‌کند. این آزمایش را به دفعات زیاد تکرار می‌کند. میانگین تمام اعداد نوشته شده چه عددی خواهد بود؟
(راهنمایی: عدد مورد نظر، برابر میانگین تمام اعداد یادداشت شده به ازای جایگشت‌های مختلف افراد است.)

۴- n جعبه داریم. در جعبه‌ی i-ام a_iکیلو سیب، b_iکیلو گلابی وجود دارد. ثابت کنید می‌توانیم با برداشتن[n/۲]+۱تا از جعبه‌ها را برداریم، که حداقل نیمی از [کل] گلابی‌ها و حداقل نیمی از [کل] سیب‌ها را برداشته باشیم.
(راهنمایی: استقرا همیشه آسون‌ترین راه نیست)

۵- قرار شد تیم المپیاد کامپیوتر جهانی امسال ۳-نفره باشد و مسئولین کمیته برای موفقیت هر چه بیشتر تیم، به فکر افتاده‌اند. آنها بعد از بررسی‌های بسیار، و مشاوره با نویسندگان شاززز، توانستند شرط لازم و کافی برای موفقیت تیم را کشف کنند: «تعداد دوستان هر فرد (از ۳ نفر تیم، و در بین تمامی شرکت‌کنندگان) باید با تعداد دوستان ۲ نفر دیگر برابر باشد.» بعد از تلاش‌های بسیار، و با اجرای الگوریتم‌های پیچیده، کمیته به این نتیجه رسید که امسال به هیچ وجه تیم جهانی المپیاد کامپیوتر نتیجه‌ی خوبی نخواهد گرفت و به همین دلیل تصمیم گرفته المپیاد کامپیوتر را منحل کند. با دانستن تعداد شرکت‌کنندگان، یک نحوه‌ی دوستی ممکن بین افراد را بیابید. (دوستی رابطه‌ی دوطرفه است.)
(راهنمایی: فهمیدن سؤال نصف سؤاله!)